KOMBINASI PERMUTASI

Permutasi

Di dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil contoh, urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan {ACB}). Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah:

Rumus Permutasi

P(n,k) =   n!  

     (n-k)!

Contoh

Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang dapat kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Pembahasan:

pertanyaan di atas dapat disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur maka dapat dituliskan sebagai P(5,2). tinggal kita masukkan ke dalam rumus.

P(5,2) =   5!     = 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20

              (5-2)!        3 x 2 x 1              6

Maka ada 20 cara yang dapat dilakukan untuk menysyn bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda-beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 58, 53, 52).

Kombinasi

kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

•         Kombinasi r elemen dari n elemen adalah :

F jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen

•         Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi

•         Perbedaan permutasi dengan kombinasi :

F Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan

F Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan

•         Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :

C(_n,r) = _nC_r = ⁿC_r =     n!     

                                r!(n-r)!

•         C(n,r) dibaca “n diambil r” à r objek diambil dari n buah objek

Contoh Soal

Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Pembahasan:

Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:

¹⁶C₁₁ =       16!        =  16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!  

              11!(16-11)!                      11!5!                          

=          524160         =  524160  = 4368

     5 x 4 x 3 x 2 x 1          120
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

•         Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola yang warnanya sama)

                        n₁ bola diantaranya berwarna 1

                        n₂ bola diantaranya berwarna 2

                        …

                        n_k bola diantaranya berwarna k

            Sehingga n₁ + n₂ + … + n_k = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola.

  Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?

•      Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n !

•      Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :

                        n₁! cara memasukkan bola berwarna 1

                        n₂! cara memasukkan bola berwarna 2

                        …

                        n_k! cara memasukkan bola berwarna k

contoh

•      Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?

•      S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}

                        Huruf M = 1 buah

                        Huruf I = 4 buah

                        Huruf S = 4 buah

                        Huruf P = 2 buah

            Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah à jumlah elemen himpunan S

•      Ada 2 cara :

                      i.        Permutasi :

                        Jumlah string = P(n; n₁,n₂,n₃,n₄) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

1. Kombinasi :

                        Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah

Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting

            Contoh :

            Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama).

            Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :