RELASI DAN FUNGSI

pengertian relasi

hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

sifat-sifat relasi

1.     1. Refleksif (Reflexive)

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A

Definisi di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

a.    Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b.    Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).

2. Setangkup (Symmetric)

Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) Î R, maka (b,a) Î R , untuk a,b Î A

Definisi di atas menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) Î R sedemikian sehingga (b,a) Ï R.

Contoh :

Misalkan A adalah himpunan mahasiswa Teknik Informatika STIKOM Poltek Cirebon dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika a satu jurusan dengan b.

Maka jika dibalik, b pun se-jurusan dengan a. Jadi bisa dikatakan bahwa R setangkup.

3. Tolak-Setangkup (antisymmetric) :

Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b) Î R dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.

Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) Ï R kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b  sedemikian  sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.

Contoh:

1.    Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tidak setangkup karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b.

Misalnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu (2,4) Î R tetapi (4,2) Ï R.

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif dikatakan tolak-setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

Misalnya, 4 habis membagi 4 maka oleh karena itu (4,4) Î R dan 4 = 4.

4. Menghantar (transitive)

 Relasi  R  pada  himpunan  A disebut menghantar jika (a,b) Î R  dan (b,c) Î R, maka (a,c) Î R untuk semua a,b,c Î A

Misalkan A adalah himpunan orang, dan R adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î R jika dan hanya jika b adalah keturunan a.

 Jika b adalah keturunan a, yaitu (a,b) Î R,  dan c adalah keturunan  b,  yaitu  (b,c) Î R  maka c juga keturunan a, yaitu (a,c) Î R.

 Jadi, R adalah relasi menghantar. Tetapi, jika T adalah relasi pada A sedemikian sehingga (a,b) Î T jika a adalah ibu dari b, maka T tidak menghantar.

Macam-macam Penyajian Bentuk Relasi :

a. Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

b. Diagram Kartesius

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu-Y). Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik sepertiterlihat pada gambar.
c. Himpunan Pasangan Berurutan
Selain menggunakan diagram panah dan kartesius, sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Adapun cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.
Berdasarkan soal di atas, maka diperoleh himpunan pasangan berurutan sebagai berikut.
{(Rani, basket), (Rani, bulu tangkis), (Dian, basket), (Dian, atletik), (Isnie, senam), (Dila, basket), (Dila, tenis meja)}

fungsi

Misalkan A dan B himpunan. — Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. — — Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan — f : A ® B — yang artinya f memetakan A ke B. — — A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. FUNGSI

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektifFungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektifFungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.