ALJABAR BOOLEAN

DEFENISI ALJABAR BOOLEAN

Aljabar Boolean adalah salah satu aljabar yang berkaitan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logika.  Variabel-variabel dalam aljabar boole dinyatakan dengan huruf-huruf seperti : A, B, C, …, X, Y, Z.   Sedangkan dalam aljabar Boolean terdapat 3 operasi logika dasar yaitu : AND, OR dan NOT (Komplemen).

Sebuah fungsi Boolean adalah sebuah ekspresi aljabar yang dibentuk dengan variabel-variabel biner, simbol-simbol operasi logika, tanda kurung dan tanda “=”.   Untuk sebuah nilai yang diberikan pada variabel , fungsi Boolean dapat bernilai 1 atau 0.

Contoh fungsi Boolean :

f   =   X + Y ’ . Z

Fungsi f sama dengan 1 jika X = 1 atau jika kedua nilai Y ‘ dan Z = 1. 

f = 0 dalam hal lain.

Tetapi kita juga dapat menyatakan bahwa jika Y ‘ = 1, maka Y = 0, karena Y ‘ adalah komplemen dari Y.   Secara ekuivalen dapat dinyatakan bahwa :

f   =   1   

jika X = 1  atau  Y.Z = 0.1

Hubungan antar sebuah fungsi dengan variabel-variabel binernya dapat disajikan dalam bentuk sebuah Tabel Kebenaran (Truth Table). Untuk menyajikan sebuah fungsi dalam sebuah tabel kebenaran, kita membutuhkan sebuah daftar 2ⁿ kombinasi 1 dan 0 dari n buah variabel biner.

Contoh :  

f   =   X + Y ’ . Z

∑ variabel = 3 (X, Y’ dan Z)

2ⁿ  =   23   =   8  kombinasi 0 dan 1.

Maka tabel kebenarannya adalah sebagai berikut : 

X	Y	Y’	Z	Y ‘ .Z	f =   X + Y ’ . Z
0	0	1	0	0	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1
1	1	0	1	0	1

Hukum-hukum Aljabar Boolean

Bentuk Kanonik

·         Ada dua macam bentuk kanonik:

1.      Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)

2.      Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

   

                                      

Contoh: 1.  f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz  à SOP

          Setiap suku (term) disebut minterm

     2.    g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

         (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)  à POS

Setiap suku (term) disebut maxterm

·        

Contoh  1. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

                   Tabel 1

Penyelesaian:

(a)      SOP

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah

f(x, y, z) =  x’y’z + xy’z’ + xyz

atau (dengan menggunakan lambang minterm),              

f(x, y, z) =  m₁ + m₄ + m₇ = å (1, 4, 7)

(b) POS     

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010,  011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah

 f(x, y, z)  =  (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)

   (x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)

                       atau dalam bentuk lain,                 

f(x, y, z) =  M₀ M₂ M₃ M₅ M₆ = Õ(0, 2, 3, 5, 6)       

Contoh 2: Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.

Penyelesaian:  (a) SOP 

x  = x(y + y’)     

  = xy + xy’    

  = xy (z + z’) + xy’(z + z’)     

  = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’

y’z = y’z (x + x’)       

= xy’z + x’y’z

 Jadi  f(x, y, z)   = x + y’z                        

 = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z                        

 = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz                    

atau  f(x, y, z)   = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = Σ (1,4,5,6,7)

(b) POS 

f(x, y, z) = x + y’z                

 = (x + y’)(x + z)

 x + y’ = x + y’ + zz’           

= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)

 x + z = x + z + yy’          

 = (x + y + z)(x + y’ + z)

 Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)          

  = (x + y  + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)

 atau f(x, y, z) = M0M2M3 = ∏(0, 2, 3)